波動方程式

振動の変位を \(\phi\), 波の位相速度(一定)を \(c\) とすると,波動方程式は次式の通り. \[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \phi = 0 \]

2次元

2次元 \(xy\) 空間内での一定の速さ \(c\) で移動する波 \(\phi(x,y,t)\) を考える.
波動方程式は次のように書ける. \[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \right)= 0 \tag{1} \] この2次元波動の解は,2次元の極座標系に変換すると容易に得られることが知られている.
そのためにまずは, 式(1)の \((x,y)\) を \((r,\theta)\) で表す.
2次元ラプラシアンの極座標表示 の通り,波動方程式の \(\nabla^2\) の部分は \[ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \tag{2} \] のように書ける.これは2次元の場合のみであることに注意.
これより式(1)を2次元極座標で表すと \[ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - \left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2} \right)= 0 \tag{3} \] となる.この未知関数 \(\phi\) を変数分離法で求める.
解の形が \(r,\theta,t\) それぞれに独立していると仮定し,かつ波が時間に周期的であるとすれば, \[ \phi(r,\theta,t) = R(r)\Theta(\theta)e^{-i\omega t} \tag{4} \] とおける.ここで,\(R(r),\Theta(\theta)\) はそれぞれ \(r,\theta\) のみで表せる関数.
この式(4)を式(3)に代入して \[- \frac{\omega^2}{c^2}R \Theta e^{-i\omega t} - \left(R^{\prime\prime} \Theta e^{-i\omega t} +\frac{1}{r} R^{\prime} \Theta e^{-i\omega t} +\frac{1}{r^2} R\Theta^{\prime\prime} e^{-i\omega t}\right) = 0 \] 両辺を \(e^{-i\omega t}\) で割って \[- \frac{\omega^2}{c^2}R \Theta - \left(R^{\prime\prime} \Theta +\frac{1}{r} R^{\prime} \Theta +\frac{1}{r^2} R\Theta^{\prime\prime} \right) = 0 \] 両辺を \(R\Theta\) で割って \[- \frac{\omega^2}{c^2} = \frac{R^{\prime\prime}}{R} + \frac{R^{\prime}}{rR} + \frac{1}{r^2}R\frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta} \] \(\dfrac{\omega^2}{c^2} = k^2\) とおくと \[- k^2 = \frac{1}{R}\left( R^{\prime\prime} + \frac{R^{\prime}}{r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta} \tag{5} \] ここで, 左辺の \(-k^2\) は定数,右辺第1項は \(r\) だけに依存,第2項の \(\dfrac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}\) は \(\theta\) だけに依存.
したがって,式(5)が恒等的に成り立つためには, \(\dfrac{1}{R}\left( R^{\prime\prime} + \dfrac{R^{\prime}}{r}\right)\) と \(\dfrac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}\) がそれぞれ定数でなければならない.
これより \(m\) を定数として \[\begin{align} \frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta} =& -m^2 \\ \end{align}\] が成り立ち,\(\Theta\) は \[\begin{align} \Theta =& ~e^{im\theta} \tag{6} \\ \end{align}\] となる.ただし角度の周期性を考慮すると \[ \Theta(\theta) = \Theta(\theta+2\pi) \] でなければならないから,\(m\) は整数.
式(6)を式(5)に代入して \[\begin{align} - k^2 = \frac{1}{R}\left( R^{\prime\prime} + \frac{R^{\prime}}{r} \right) + \frac{1}{r^2}(-m^2) \\ R^{\prime\prime} + \frac{1}{r}R^{\prime} + \left( k^2 - \frac{m^2}{r^2}\right)R = 0 \tag{7} \end{align}\] \(kr\equiv s\) なる \(s\) で変数変換(と無次元化)をする. \[ \frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial s}{\partial r}\frac{\partial}{\partial s} = k\frac{\partial}{\partial s} \] であり,\(k\) は定数のため \[ R(r) = R\left(\frac{s}{k}\right) \equiv u(s) \] とすれば \[ k^2\frac{\partial^2}{\partial s^2}u + \frac{k^2}{s}\frac{\partial}{\partial s}u + \left( k^2 - \frac{k^2m^2}{s^2}\right)u = 0 \] 両辺を \(k^2\) で割って \[ \frac{\partial^2}{\partial s^2}u + \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}u + \left( 1 - \frac{m^2}{s^2}\right)u = 0 \] \(\dfrac{\partial u}{\partial s}\) を \(s^{\prime}\) と表記すると \[ u^{\prime\prime} + \frac{1}{s}u^{\prime} + \left( 1 - \frac{m^2}{s^2}\right)u = 0 \tag{8} \] これは,\(m\) 次のベッセル微分方程式である.
ベッセル微分方程式は2階の線形微分方程式であるから線形独立な2つの解が存在する.系によって解の様々な表現が使われる.
解の一つは第一種ベッセル関数であり, \(m\)次第一種ベッセル関数を \(J_m\) とすると \(u\) は \[ u(s) = A J_m(s) \] となる(\(A\)は定数).よって解の形 \(\phi\) は \[\begin{align} \phi(r,\theta,t) = & A J_m(kr) e^{im\theta} e^{-i\omega t} \\  = & A J_m(kr) e^{i\left(m\theta - \omega t\right)} \tag{9} \end{align}\] \(m=0\) で \(r\) が十分大きいとき \[\begin{align} J_0(kr) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}\cos\left(kr-\frac{\pi}{4}\right) \end{align}\] であるから,式(8)は \[\begin{align} \phi(r,\theta,t) \approx A \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}\cos\left(kr-\frac{\pi}{4}\right)e^{im\theta} e^{-i\omega t} \\  \end{align}\] 実部をとって,\(k\) を元の \(\omega,c\) で表すと \[\begin{align} \phi(r,\theta,t) \approx A \sqrt{\frac{2c}{\pi \omega r}}\cos\left(\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)-\frac{\pi}{4}\right) \end{align}\] である.

下は近似解とベッセル関数の解を比較した図.

wave2d_solution.gif

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Last-modified: 2020-12-31 (Thu) 15:42:39 (262d)