畳み込み積分のフーリエ変換とラプラス変換 †
畳み込み積分 †
まず，関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) の畳み込み積分（重畳積分，コンボリューションとも）は次のように表される．
\[ \
f \ast g (t) = \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \tag{1} \
\]
畳み込み積分のフーリエ変換 †
関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のフーリエ変換をそれぞれ \(F(\omega)\) と \(G(\omega)\) とする．
畳み込み積分のフーリエ変換の有名な性質
\[
\int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-i\omega t} dt \
= F(\omega)G(\omega)\tag{2} \
\]
を示す．
\[ \begin{align}
& \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-i\omega t} dt \\
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty dt ~ g(t-\tau) ~ e^{-i\omega t} \\
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-i\omega \left(t'+\tau\right)} \\
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-i\omega \tau} \int_\infty^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-i\omega t'} \\
= & ~F(\omega) G(\omega) \\
\end{align} \]
2行目は式の整理，
3行目は \(t\) から \(t'\) への変数変換，
4行目は変数変換で出てきた \(e^{-i\omega \left(t'+\tau\right)}\) の分配をそれぞれ行っている
畳み込み積分のラプラス変換 †
関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のラプラス変換をそれぞれ \(F(s)\) と \(G(s)\) とする．
\( t<0\) のとき \(f(t) = 0\) かつ \(g(t) = 0\) を仮定すれば，畳み込み積分のラプラス変換でもフーリエ変換のものと似た式が得られる．
\[ \
\int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \
= F(s) G(s)\tag{3} \
\]
\(t-\tau=t'\) として変数変換すると簡単になるのはフーリエ変換の場合と同じ．
畳み込み積分とラプラス変換のそれぞれの積分区間と，\( t<0\) の条件に気をつける．
\[ \begin{align}
& \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \\
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_0^\infty dt ~ g(t-\tau) ~ e^{-st} \\
= & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_{-\tau}^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-s\left(t'+\tau\right)} \\
= & \int_0^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-s\tau} \int_0^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-st'} \\
= & ~F(s) G(s) \\
\end{align} \]
