畳み込み積分のフーリエ変換とラプラス変換

畳み込み積分

まず,関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) の畳み込み積分(重畳積分,コンボリューションとも)は次のように表される. \[ \ f \ast g (t) = \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \tag{1} \ \]

畳み込み積分のフーリエ変換

関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のフーリエ変換をそれぞれ \(F(\omega)\) と \(G(\omega)\) とする.
畳み込み積分のフーリエ変換の有名な性質 \[ \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-i\omega t} dt \ = F(\omega)G(\omega)\tag{2} \ \] を示す.

\[ \begin{align} & \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-i\omega t} dt \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty dt ~ g(t-\tau) ~ e^{-i\omega t} \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-i\omega \left(t'+\tau\right)} \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-i\omega \tau} \int_\infty^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-i\omega t'} \\ = & ~F(\omega) G(\omega) \\ \end{align} \] 2行目は式の整理,
3行目は \(t\) から \(t'\) への変数変換,
4行目は変数変換で出てきた \(e^{-i\omega \left(t'+\tau\right)}\) の分配をそれぞれ行っている


畳み込み積分のラプラス変換

関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のラプラス変換をそれぞれ \(F(s)\) と \(G(s)\) とする.
\( t<0\) のとき \(f(t) = 0\) かつ \(g(t) = 0\) を仮定すれば,畳み込み積分のラプラス変換でもフーリエ変換のものと似た式が得られる. \[ \ \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \ = F(s) G(s)\tag{3} \ \]

\(t-\tau=t'\) として変数変換すると簡単になるのはフーリエ変換の場合と同じ.
畳み込み積分とラプラス変換のそれぞれの積分区間と,\( t<0\) の条件に気をつける.
\[ \begin{align} & \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_0^\infty dt ~ g(t-\tau) ~ e^{-st} \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_{-\tau}^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-s\left(t'+\tau\right)} \\ = & \int_0^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-s\tau} \int_0^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-st'} \\ = & ~F(s) G(s) \\ \end{align} \]


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Last-modified: 2020-11-11 (Wed) 17:31:21 (13d)