線形分散関係

「分散関係」?

微小振幅波理論における分散関係式 (dispersion relation) \[ \omega^2 = gk\tanh kh \tag{1} \] は海岸工学の教科書で必ず出てくるが,この分散関係というのが何を意味するのか最初はよくわからなかった.

水面波の挙動の支配方程式を満たすためには, 一般に 角振動数 \(\omega\) と波数 \(k\) は独立ではなく,ある関係を満たさなければならない.この2つの関係 \(\omega(k)\) を表す条件式を分散関係式と言う.

なぜ「分散関係」という言葉なのかは,波速(位相速度)\(c=\omega/k\) を考えるとわかりやすい.\(\omega\) は \(k\) の関数であるから,波速 \(c\) も波数 \(k\) に,つまり波長 \(\lambda\) に依存する.フーリエ解析によれば,任意の波形は様々な波長の正弦波の重ね合わせで表現できる.したがって,\(c\) が \(\lambda\) に依存する場合,どのような初期波形であってもそれぞれの波長の波が異なる速さで伝播していくため,波形は時間の経過とともに波長ごとに散らばっていく(分散する)ことになる.このような,\(c(k)\) が一定でなく \(k\) に依存するような波動を「分散性」波動という.


微小振幅波の分散関係式の導出

微小振幅波で導出予定.


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Last-modified: 2020-10-11 (Sun) 16:31:36 (12d)