エッジ波 †
概要 †
沿岸方向に流れる長波．長波の波速は $\sqrt{gh}$ であるため深いところほど波速が大きい．したがって，一度斜めに入射した波が陸域で完全反射した場合，深いところにある先方の波の方が速く次第にまわりこむような伝播になり，なかなか沖合に波が抜け出ていかない．津波等の長波が沿岸に到達した際に長時間振動が継続する原因の一つ．
微小振幅の理論解 †
支配方程式 †
Koshimura et al.(1999) と同じ方法で導出する．
まず，岸沖方向に勾配一定の斜面上で沿岸方向に伝播する波を考える．
非粘性，コリオリの力を無視した線形長波の運動方程式は次式の通り．
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \\
\frac{\partial v}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} \\
\frac{\partial w}{\partial t} &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}
\end{align}\]
ここで $u$, $v$, $w$ は $x$,$y$,$z$ 方向流速，$\rho$ は海水の密度，$p$は圧力，$g$ は重力加速度，$t$ は時間．
長波近似のため $\dfrac{\partial w}{\partial t} = 0$ として
\[\begin{align}
0 &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\
\frac{\partial p}{\partial z} &= -\rho g \\
p &= -\rho g + C
\end{align}\]
ここで $C$ は未定係数．水位を $\xi$ とし，$z = \xi$ のとき $p = 0$ として
\[
C = \rho g \xi
\]
よって
\[
p = \rho g (\xi-z)
\]
これを $x$,$y$方向の式に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= -g\frac{\partial \xi}{\partial x} \tag{1} \\
\frac{\partial v}{\partial t} &= -g\frac{\partial \xi}{\partial y} \tag{2}
\end{align}\]
一方で連続式は
\[
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \left[ \left( h+\xi \right) u \right] -\frac{\partial}{\partial y} \left[ \left( h+\xi \right) v \right]
\]
微小振幅波を仮定し，$|\xi| << h$の場合は$h$に比べ $\xi$ を無視できる．よって
\[
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( hu \right) -\frac{\partial}{\partial y} \left( hv \right)
\]
両辺を $t$ で微分すると次式となる．なお $h$ は $t$ に依存しない（固定床）とする．
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( h \frac{\partial u}{\partial t} \right) -\frac{\partial}{\partial y} \left( h \frac{\partial v}{\partial t} \right)
\tag{3}
\]
運動方程式から得た式(1),(2)を上式(3)に代入して
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( gh \frac{\partial \xi}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( gh \frac{\partial \xi}{\partial y} \right)
\tag{4}
\]
ここで，勾配一定の斜面を考え，勾配を $s$ とすると $h = sx$ と書ける（$h$ は $y$ 方向には一様とする）．これを式(4)に代入すれば
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = g \left( s \frac{\partial \xi}{\partial x} + sx \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} \right) + gsx \frac{\partial^2 \xi}{\partial y^2}
\tag{5}
\]
求解 †
解の形を次式のように仮定する．
\[
\xi(x,y,t) = \eta(x) e^{i \left( \beta y - \omega t\right) } \tag{6}
\]
これを式(5)に代入して整理すると
\[
x\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} +
\frac{\partial \eta}{\partial x} +
\left( \frac{\omega^2}{gs} - \beta^2 x \right) \eta
= 0 \tag{7}
\]
ここで無次元変数 $q$, および関数 $\phi$ を次のように導入する．
\[\begin{align}
q &= 2\beta x \\
\eta &= e^{-q/2} \phi(q)
\end{align}\]
これを式(7)に代入して整理すると，
\[
q\frac{d^2 \phi}{d q^2} + (1-q) \frac{d \phi}{dq} + \left( \frac{\omega^2}{2g\beta s}-\frac{1}{2} \right) \phi = 0 \tag{8}
\]
となり，これはKummerの合流型超幾何微分方程式の型をしている．式の第3項の係数を $\lambda$， すなわち
\[
\lambda = \left( \frac{\omega^2}{2g\beta s}-\frac{1}{2} \right) \tag{9}
\]
とする．式(8)の微分方程式の解は合流型超幾何関数で与えられ，第1種と第2種合流型超幾何関数をそれぞれ$M(a,b;c)$，$U(a,b;c)$とすれば一般解は
\[
\eta = A e^{-q/2} M(-\lambda,1;q) + B e^{-q/2} U(-\lambda,1;q)
\]
となる．$A,B$ は未定係数．これを水位 $\xi$ に戻せば
\[
\xi(x,y,t) = \left[ A e^{-q/2} M(-\lambda,1;q) + B e^{-q/2} U(-\lambda,1;q) \right] e^{i \left(\beta y - \omega t \right)} \tag{10}
\]
となる．
なお，$\lambda = n$ が正の整数または0のとき，第1種超幾何関数はラゲール多項式 $L_n(q)$ と一致する．
図 †
参考文献 †
- Koshimura, S., Imamura, F., & Shuto, N. (1999). Propagation of Obliquely Incident Tsunamis on a Slope Part I: Amplification of Tsunamis on a Continental Slope. Coastal Engineering Journal, 41(2), 151–164.
- 沿岸の海洋物理学 宇野木早苗（東海大学出版会）
