Lotka-Volterra方程式 メモ

ロジスティック方程式を2変数に拡張したもの. \[ \begin{align} {dx \over dt} = \varepsilon_1 x - k_1xy \tag{1} \\ {dy \over dt} = -\varepsilon_2 y + k_2xy \tag{2} \end{align} \] \(x\) を草食動物の個体数,\(y\) を肉食動物の個体数として生態系の変化を表す(簡略な)モデルの代表.

草食動物は草を食べて増殖 \(+\varepsilon_1 x\)するが,肉食動物に遭遇すると一定の割合で食べられて個体数は減少する.
各々の個体数が増えるほど遭遇率は高くなり(\(k_1xy\)),遭遇すると草食の場合は個体が減るので \( -k_1xy \) になる.

逆に肉食動物は草食動物を食べることで個体数を増やし(\( +k_2xy\)),自然死などの理由で減少する(\(-\varepsilon_2 y\)).


安定サイクルに入るようなパラメータの組み合わせはかなり限定的で難しい.
下の図は Julia で解いてみた例.このあと個体数 \(x,y\) は爆発して成立しなくなる.

LotkaVolterra.gif



参考文献


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Last-modified: 2022-08-13 (Sat) 17:07:42 (54d)