Takuya Miyashita
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*エッジ波 [#e89da768]
**概要 [#maf7af4e]
沿岸方向に流れる長波.長波の波速は $\sqrt{gh}$ であるため...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
** 微小振幅の理論解 [#oda59bf5]
***支配方程式 [#r153221e]
Koshimura et al.(1999) と同じ方法で導出する.~
まず,岸沖方向に勾配一定の斜面上で沿岸方向に伝播する波を...
非粘性,コリオリの力を無視した線形長波の運動方程式は次式...
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\pa...
\frac{\partial v}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\pa...
\frac{\partial w}{\partial t} &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{...
\end{align}\]
ここで $u$, $v$, $w$ は $x$,$y$,$z$ 方向流速,$\rho$ は海...
長波近似のため $\dfrac{\partial w}{\partial t} = 0$ として
\[\begin{align}
0 &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\
\frac{\partial p}{\partial z} &= -\rho g \\
p &= -\rho g + C
\end{align}\]
ここで $C$ は未定係数.水位を $\xi$ とし,$z = \xi$ のと...
\[
C = \rho g \xi
\]
よって
\[
p = \rho g (\xi-z)
\]
これを $x$,$y$方向の式に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= -g\frac{\partial \xi}{\p...
\frac{\partial v}{\partial t} &= -g\frac{\partial \xi}{\p...
\end{align}\]
一方で連続式は
\[
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\parti...
\]
微小振幅波を仮定し,$|\xi| << h$の場合は$h$に比べ $\xi$ ...
\[
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\parti...
\]
両辺を $t$ で微分すると次式となる.なお $h$ は $t$ に依存...
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = -\frac{\partial}{\...
\tag{3}
\]
運動方程式から得た式(1),(2)を上式(3)に代入して
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\p...
\tag{4}
\]
ここで,勾配一定の斜面を考え,勾配を $s$ とすると $h = sx...
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = g \left( s \frac{\p...
\tag{5}
\]
***求解 [#ld11d08e]
解の形を次式のように仮定する.
\[
\xi(x,y,t) = \eta(x) e^{i \left( \beta y - \omega t\right...
\]
これを式(5)に代入して整理すると
\[
x\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} +
\frac{\partial \eta}{\partial x} +
\left( \frac{\omega^2}{gs} - \beta^2 x \right) \eta
= 0 \tag{7}
\]
ここで無次元変数 $q$, および関数 $\phi$ を次のように導入...
\[\begin{align}
q &= 2\beta x \\
\eta &= e^{-q/2} \phi(q)
\end{align}\]
これを式(7)に代入して整理すると,
\[
q\frac{d^2 \phi}{d q^2} + (1-q) \frac{d \phi}{dq} + \left...
\]
となり,これはKummerの合流型超幾何微分方程式の型をしてい...
\[
\lambda = \left( \frac{\omega^2}{2g\beta s}-\frac{1}{2} \...
\]
とする.式(8)の微分方程式の解は合流型超幾何関数で与えられ...
\[
\eta = A e^{-q/2} M(-\lambda,1;q) + B e^{-q/2} U(-\lambda...
\]
となる.$A,B$ は未定係数.これを水位 $\xi$ に戻せば
\[
\xi(x,y,t) = \left[ A e^{-q/2} M(-\lambda,1;q) + B e^{-q/...
\]
となる.~
なお,$\lambda = n$ が正の整数または0のとき,第1種超幾何...
**図 [#dd03f071]
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
~
**参考文献 [#d3b38ce6]
-Koshimura, S., Imamura, F., & Shuto, N. (1999). [[Propag...
-[[沿岸の海洋物理学 宇野木早苗(東海大学出版会)>https:/...
End:
*エッジ波 [#e89da768]
**概要 [#maf7af4e]
沿岸方向に流れる長波.長波の波速は $\sqrt{gh}$ であるため...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
** 微小振幅の理論解 [#oda59bf5]
***支配方程式 [#r153221e]
Koshimura et al.(1999) と同じ方法で導出する.~
まず,岸沖方向に勾配一定の斜面上で沿岸方向に伝播する波を...
非粘性,コリオリの力を無視した線形長波の運動方程式は次式...
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\pa...
\frac{\partial v}{\partial t} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\pa...
\frac{\partial w}{\partial t} &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{...
\end{align}\]
ここで $u$, $v$, $w$ は $x$,$y$,$z$ 方向流速,$\rho$ は海...
長波近似のため $\dfrac{\partial w}{\partial t} = 0$ として
\[\begin{align}
0 &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\
\frac{\partial p}{\partial z} &= -\rho g \\
p &= -\rho g + C
\end{align}\]
ここで $C$ は未定係数.水位を $\xi$ とし,$z = \xi$ のと...
\[
C = \rho g \xi
\]
よって
\[
p = \rho g (\xi-z)
\]
これを $x$,$y$方向の式に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= -g\frac{\partial \xi}{\p...
\frac{\partial v}{\partial t} &= -g\frac{\partial \xi}{\p...
\end{align}\]
一方で連続式は
\[
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\parti...
\]
微小振幅波を仮定し,$|\xi| << h$の場合は$h$に比べ $\xi$ ...
\[
\frac{\partial \xi}{\partial t} = -\frac{\partial}{\parti...
\]
両辺を $t$ で微分すると次式となる.なお $h$ は $t$ に依存...
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = -\frac{\partial}{\...
\tag{3}
\]
運動方程式から得た式(1),(2)を上式(3)に代入して
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = \frac{\partial}{\p...
\tag{4}
\]
ここで,勾配一定の斜面を考え,勾配を $s$ とすると $h = sx...
\[
\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = g \left( s \frac{\p...
\tag{5}
\]
***求解 [#ld11d08e]
解の形を次式のように仮定する.
\[
\xi(x,y,t) = \eta(x) e^{i \left( \beta y - \omega t\right...
\]
これを式(5)に代入して整理すると
\[
x\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} +
\frac{\partial \eta}{\partial x} +
\left( \frac{\omega^2}{gs} - \beta^2 x \right) \eta
= 0 \tag{7}
\]
ここで無次元変数 $q$, および関数 $\phi$ を次のように導入...
\[\begin{align}
q &= 2\beta x \\
\eta &= e^{-q/2} \phi(q)
\end{align}\]
これを式(7)に代入して整理すると,
\[
q\frac{d^2 \phi}{d q^2} + (1-q) \frac{d \phi}{dq} + \left...
\]
となり,これはKummerの合流型超幾何微分方程式の型をしてい...
\[
\lambda = \left( \frac{\omega^2}{2g\beta s}-\frac{1}{2} \...
\]
とする.式(8)の微分方程式の解は合流型超幾何関数で与えられ...
\[
\eta = A e^{-q/2} M(-\lambda,1;q) + B e^{-q/2} U(-\lambda...
\]
となる.$A,B$ は未定係数.これを水位 $\xi$ に戻せば
\[
\xi(x,y,t) = \left[ A e^{-q/2} M(-\lambda,1;q) + B e^{-q/...
\]
となる.~
なお,$\lambda = n$ が正の整数または0のとき,第1種超幾何...
**図 [#dd03f071]
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
~
**参考文献 [#d3b38ce6]
-Koshimura, S., Imamura, F., & Shuto, N. (1999). [[Propag...
-[[沿岸の海洋物理学 宇野木早苗(東海大学出版会)>https:/...
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