Takuya Miyashita

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*ベッセル関数 [#i1e64a11] #contents **はじめに [#mbc892c4] ベッセル関数は，ベッセルの微分方程式 \[ x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-... \] を満たす \(y(x)\) の解．~ 少し見やすくなるように一部文字を変えて変形すると（数学的... \[ \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{x}\frac{\p... \] となる．この \(Z_{\nu}(x)\) を次数 \(\nu\) のベッセル関数... ~ ベッセルの微分方程式は，例えば波動方程式を変数分離し直交... 2次元のラプラシアン \(\nabla^2\) を極座標表示にすると \[ \nabla^2 = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{... \] であり，上式の右辺に着目すると，ベッセルの微分方程式っぽ... 波動方程式からベッセル微分方程式を得る過程は[[別ページ>..... ~ 次数 \(\nu\) が整数か非整数かの区別は必要だが，いずれにし... その一方を第一種ベッセル関数 \(J_\nu\) とし，他方を 第ニ... したがって，最初の形式のベッセル微分方程式の一般解は， \[ y(x) = AJ_\nu(x)+BN_\nu(x) \] と表せる．\(A,\,B\) は定数．~ ~ 第一種ベッセル関数 \(J_\nu\) を単に(狭義の)ベッセル関数と... これと区別するために第二種ベッセル関数 \(N_\nu\) はノイマ... 文献によってはノイマン関数は \(N_\nu\) でなくて \(Y_\nu\... さらに，これらの線型結合である \[ H_\nu^{(1)}(x) = J_\nu + iN_\nu \\ H_\nu^{(2)}(x) = J_\nu... \] もベッセル微分方程式の解となり，前者を第一種ハンケル関数... ハンケル関数は第三種ベッセル関数ともいう(ややこしい)．~ ~ \(J_\nu,\,N_\nu,\,H_\nu^{(1)},\,H_\nu^{(2)}\) を総称して(... ~ **第一種ベッセル関数 \(J_\nu\) [#hdf682f7] 次数が整数の場合，第一種ベッセル関数 \(J_n\) は \[ J_n(x) = \sum_{s=0}^\infty \frac{(-1)^s}{s!\,(s+n)!}\left... \] である．次数 \(n\) を非整数も含めた実数領域 \(\nu\) へ拡... \[ J_\nu(x) = \sum_{s=0}^\infty \frac{(-1)^s}{s!\,\Gamma(s+\... \] となり，これが第一種ベッセル関数を表す基本的な式である．~ 整数次の第一種ベッセル関数 \(J_n(x)\) は下記のようになる... #htmlinsert(svg/Bessel_01357.svg) 次数が大きくなるほど立ち上がりが遅くなり，振幅は \(\sqrt{... また，十分大きな \(x\) に関しては下記の式で近似できる． \[ J_\nu(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x-\frac{... \] どの程度大きくなれば近似が可能かは，下図を参照． #htmlinsert(svg/BesselJ_approx.svg) **第二種ベッセル関数(ノイマン関数) \(N_\nu\) [#t58a0808] 第ニ種ベッセル関数(ノイマン関数) \(N_\nu\) は， \[ N_\nu(x) = \frac{J_\nu(x) \cos\,\pi\nu - J_{-\nu}(x)}{\si... \] で表せる．十分大きな \(x\) に対する近似式は下記の通り．\(... \[ N_\nu(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x-\frac{... \] ノイマン関数 \(N_n(x)\) の概形は下図の通り．小さい \(x\) ... #htmlinsert(svg/Neumann_01357.svg) ~ また，(第一種)ベッセル関数とノイマン関数を並べて書くと次... #htmlinsert(svg/Bessel_Neumann_Func1.svg) ~ ~ **第三種ベッセル関数(ハンケル関数) \( H_\nu^{(1)},\,H_\nu... ハンケル関数の定義は上にあるように \[ H_\nu^{(1)}(x) = J_\nu + iN_\nu \\ H_\nu^{(2)}(x) = J_\nu... \] であり，式から明らかなように，プログラムを書く時は必ず複... ハンケル関数の概形を確認するため，各種ベッセル関数に \(e^... #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i... \( H_\nu^{(1)},\,H_\nu^{(2)} \) は互いに逆方向に伝播して... ~ **その他 [#k4a8dff6] なんとなく，ベッセル関数に \(e^{-i\omega t}\) を乗じ，\(t... #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i... #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i... *参考文献 [#bed36c60] #htmlinsert(book_appliedmath_for_physics.html) #htmlinsert(amazon,transitional,"asins=4000055097") #htmlinsert(amazon,transitional,"asins=4627038291")

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*ベッセル関数 [#i1e64a11] #contents **はじめに [#mbc892c4] ベッセル関数は，ベッセルの微分方程式 \[ x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-... \] を満たす \(y(x)\) の解．~ 少し見やすくなるように一部文字を変えて変形すると（数学的... \[ \left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{x}\frac{\p... \] となる．この \(Z_{\nu}(x)\) を次数 \(\nu\) のベッセル関数... ~ ベッセルの微分方程式は，例えば波動方程式を変数分離し直交... 2次元のラプラシアン \(\nabla^2\) を極座標表示にすると \[ \nabla^2 = \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{... \] であり，上式の右辺に着目すると，ベッセルの微分方程式っぽ... 波動方程式からベッセル微分方程式を得る過程は[[別ページ>..... ~ 次数 \(\nu\) が整数か非整数かの区別は必要だが，いずれにし... その一方を第一種ベッセル関数 \(J_\nu\) とし，他方を 第ニ... したがって，最初の形式のベッセル微分方程式の一般解は， \[ y(x) = AJ_\nu(x)+BN_\nu(x) \] と表せる．\(A,\,B\) は定数．~ ~ 第一種ベッセル関数 \(J_\nu\) を単に(狭義の)ベッセル関数と... これと区別するために第二種ベッセル関数 \(N_\nu\) はノイマ... 文献によってはノイマン関数は \(N_\nu\) でなくて \(Y_\nu\... さらに，これらの線型結合である \[ H_\nu^{(1)}(x) = J_\nu + iN_\nu \\ H_\nu^{(2)}(x) = J_\nu... \] もベッセル微分方程式の解となり，前者を第一種ハンケル関数... ハンケル関数は第三種ベッセル関数ともいう(ややこしい)．~ ~ \(J_\nu,\,N_\nu,\,H_\nu^{(1)},\,H_\nu^{(2)}\) を総称して(... ~ **第一種ベッセル関数 \(J_\nu\) [#hdf682f7] 次数が整数の場合，第一種ベッセル関数 \(J_n\) は \[ J_n(x) = \sum_{s=0}^\infty \frac{(-1)^s}{s!\,(s+n)!}\left... \] である．次数 \(n\) を非整数も含めた実数領域 \(\nu\) へ拡... \[ J_\nu(x) = \sum_{s=0}^\infty \frac{(-1)^s}{s!\,\Gamma(s+\... \] となり，これが第一種ベッセル関数を表す基本的な式である．~ 整数次の第一種ベッセル関数 \(J_n(x)\) は下記のようになる... #htmlinsert(svg/Bessel_01357.svg) 次数が大きくなるほど立ち上がりが遅くなり，振幅は \(\sqrt{... また，十分大きな \(x\) に関しては下記の式で近似できる． \[ J_\nu(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos\left(x-\frac{... \] どの程度大きくなれば近似が可能かは，下図を参照． #htmlinsert(svg/BesselJ_approx.svg) **第二種ベッセル関数(ノイマン関数) \(N_\nu\) [#t58a0808] 第ニ種ベッセル関数(ノイマン関数) \(N_\nu\) は， \[ N_\nu(x) = \frac{J_\nu(x) \cos\,\pi\nu - J_{-\nu}(x)}{\si... \] で表せる．十分大きな \(x\) に対する近似式は下記の通り．\(... \[ N_\nu(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin\left(x-\frac{... \] ノイマン関数 \(N_n(x)\) の概形は下図の通り．小さい \(x\) ... #htmlinsert(svg/Neumann_01357.svg) ~ また，(第一種)ベッセル関数とノイマン関数を並べて書くと次... #htmlinsert(svg/Bessel_Neumann_Func1.svg) ~ ~ **第三種ベッセル関数(ハンケル関数) \( H_\nu^{(1)},\,H_\nu... ハンケル関数の定義は上にあるように \[ H_\nu^{(1)}(x) = J_\nu + iN_\nu \\ H_\nu^{(2)}(x) = J_\nu... \] であり，式から明らかなように，プログラムを書く時は必ず複... ハンケル関数の概形を確認するため，各種ベッセル関数に \(e^... #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i... \( H_\nu^{(1)},\,H_\nu^{(2)} \) は互いに逆方向に伝播して... ~ **その他 [#k4a8dff6] なんとなく，ベッセル関数に \(e^{-i\omega t}\) を乗じ，\(t... #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i... #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i... *参考文献 [#bed36c60] #htmlinsert(book_appliedmath_for_physics.html) #htmlinsert(amazon,transitional,"asins=4000055097") #htmlinsert(amazon,transitional,"asins=4627038291")

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