波動方程式 †
変位を \(\phi\)， 波の位相速度（一定）を \(c\) とすると，波動方程式は次式の通り．
\[
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \phi = 0
\]
2次元 †
2次元 \(xy\) 空間内での一定の速さ \(c\) で移動する波 \(\phi(x,y,t)\) を考える．
波動方程式は次のように書ける．
\[
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \left( \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \right)= 0 \tag{1}
\]
この2次元波動の解は，2次元の極座標系に変換すると容易に得られることが知られている．
そのためにまずは， 式(1)の \((x,y)\) を \((r,\theta)\) で表す．
2次元ラプラシアンの極座標表示 の通り，波動方程式の \(\nabla^2\) の部分は
\[
\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \tag{2}
\]
のように書ける．これは2次元の場合のみであることに注意．
これより式(1)を2次元極座標で表すと
\[
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2} - \left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2} \right)= 0 \tag{3}
\]
となる．この未知関数 \(\phi\) を変数分離法で求める．
解の形が \(r,\theta,t\) それぞれに独立していると仮定し，かつ波が時間に周期的であるとすれば，
\[
\phi(r,\theta,t) = R(r)\Theta(\theta)e^{-i\omega t} \tag{4}
\]
とおける．ここで，\(R(r),\Theta(\theta)\) はそれぞれ \(r,\theta\) のみで表せる関数．
この式(4)を式(3)に代入して
\[-
\frac{\omega^2}{c^2}R \Theta e^{-i\omega t} - \left(R^{\prime\prime} \Theta e^{-i\omega t} +\frac{1}{r} R^{\prime} \Theta e^{-i\omega t} +\frac{1}{r^2} R\Theta^{\prime\prime} e^{-i\omega t}\right) = 0
\]
両辺を \(e^{-i\omega t}\) で割って
\[-
\frac{\omega^2}{c^2}R \Theta - \left(R^{\prime\prime} \Theta +\frac{1}{r} R^{\prime} \Theta +\frac{1}{r^2} R\Theta^{\prime\prime} \right) = 0
\]
両辺を \(R\Theta\) で割って
\[-
\frac{\omega^2}{c^2} = \frac{R^{\prime\prime}}{R} + \frac{R^{\prime}}{rR} + \frac{1}{r^2}R\frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}
\]
\(\dfrac{\omega^2}{c^2} = k^2\) とおくと
\[-
k^2 = \frac{1}{R}\left( R^{\prime\prime} + \frac{R^{\prime}}{r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta} \tag{5}
\]
ここで, 左辺の \(-k^2\) は定数，右辺第1項は \(r\) だけに依存，第2項の \(\dfrac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}\) は \(\theta\) だけに依存．
したがって,式(5)が恒等的に成り立つためには， \(\dfrac{1}{R}\left( R^{\prime\prime} + \dfrac{R^{\prime}}{r}\right)\) と \(\dfrac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}\) がそれぞれ定数でなければならない．
これより \(m\) を定数として
\[\begin{align}
\frac{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta} =& -m^2 \\
\end{align}\]
が成り立ち，\(\Theta\) は
\[\begin{align}
\Theta =& ~e^{im\theta} \tag{6} \\
\end{align}\]
となる．ただし角度の周期性を考慮すると
\[
\Theta(\theta) = \Theta(\theta+2\pi)
\]
でなければならないから，\(m\) は整数．
式(6)を式(5)に代入して
\[\begin{align} -
k^2 = \frac{1}{R}\left( R^{\prime\prime} + \frac{R^{\prime}}{r} \right) + \frac{1}{r^2}(-m^2) \\
R^{\prime\prime} + \frac{1}{r}R^{\prime} + \left( k^2 - \frac{m^2}{r^2}\right)R = 0 \tag{7}
\end{align}\]
\(kr\equiv s\) なる \(s\) で変数変換（と無次元化）をする．
\[
\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial s}{\partial r}\frac{\partial}{\partial s} = k\frac{\partial}{\partial s}
\]
であり，\(k\) は定数のため
\[
R(r) = R\left(\frac{s}{k}\right) \equiv u(s)
\]
とすれば
\[
k^2\frac{\partial^2}{\partial s^2}u + \frac{k^2}{s}\frac{\partial}{\partial s}u + \left( k^2 - \frac{k^2m^2}{s^2}\right)u = 0
\]
両辺を \(k^2\) で割って
\[
\frac{\partial^2}{\partial s^2}u + \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}u + \left( 1 - \frac{m^2}{s^2}\right)u = 0
\]
\(\dfrac{\partial u}{\partial s}\) を \(s^{\prime}\) と表記すると
\[
u^{\prime\prime} + \frac{1}{s}u^{\prime} + \left( 1 - \frac{m^2}{s^2}\right)u = 0 \tag{8}
\]
これは，\(m\) 次のベッセル微分方程式である．
ベッセル微分方程式は2階の線形微分方程式であるから線形独立な2つの解が存在する．系によって解の様々な表現が使われる．
解の一つは第一種ベッセル関数であり， \(m\)次第一種ベッセル関数を \(J_m\) とすると \(u\) は
\[
u(s) = A J_m(s)
\]
となる(\(A\)は定数)．よって解の形 \(\phi\) は
\[\begin{align}
\phi(r,\theta,t) = & A J_m(kr) e^{im\theta} e^{-i\omega t} \\
= & A J_m(kr) e^{i\left(m\theta - \omega t\right)} \tag{9}
\end{align}\]
\(m=0\) で \(r\) が十分大きいとき
\[\begin{align}
J_0(kr) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}\cos\left(kr-\frac{\pi}{4}\right)
\end{align}\]
であるから，式(8)は
\[\begin{align}
\phi(r,\theta,t) \approx A \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}\cos\left(kr-\frac{\pi}{4}\right)e^{im\theta} e^{-i\omega t} \\
\end{align}\]
実部をとって，\(k\) を元の \(\omega,c\) で表すと
\[\begin{align}
\phi(r,\theta,t) \approx A \sqrt{\frac{2c}{\pi \omega r}}\cos\left(\omega\left(\frac{r}{c}-t\right)-\frac{\pi}{4}\right)
\end{align}\]
である．
下は近似解とベッセル関数の解を比較した図．
