#author("2021-08-18T16:18:22+09:00","default:Miyashita","Miyashita") #author("2024-02-27T12:03:47+09:00","default:Miyashita","Miyashita") *微小振幅長波 [#hda3bf75] #contents **\(h=\mathrm{const.}, b=\mathrm{const.}\) （一様水深，幅一定）の場合[#ye6178a0] [[微小振幅波>../微小振幅波]]の長波 (概ね \(h/L <1/20 \)) に着目して展開してみる．~ [[線形分散関係式の導出>../線形分散関係]]で示したとおり，微小振幅波の分散関係式は次式となる． \[ \omega^2 = gk\tanh kh \tag{a} \] 長波（\(kh \rightarrow 0 \)）の場合を考えると \(\tanh kh \approx kh\) であるから \[ \omega^2 = gk^2h \] となり，したがって波速 \(c=\dfrac{\omega}{k}\) は \[ c = \sqrt{gh} \tag{b} \] となる．水深に比して波長が十分に長くなると，波速は水深のみに依存するということを指している．~ この関係を，ラプラスの式から求めるのとは異なるアプローチで導く（微小振幅かつ長波という仮定は同じ）．~ #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/image/Notebooks/smallamplitude_veryshallow.gif); ~ ***運動方程式 [#rafe5cbd] 一様水深 \(h\) で断面2次元の長周期波 \(\eta(x,z,t)\) を考える．~ Euler の運動方程式を書くと次のようになる． \[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + w \frac{\partial u}{\partial z} &= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} \tag{1} \\ \frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + w \frac{\partial w}{\partial z} &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \tag{2} \\ \end{align}\] 微小振幅波の運動を考えているため式(2)において \(w\) を無視すると \[\begin{align} 0 &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\ \frac{\partial p}{\partial z} & = -\rho g \\ \end{align}\] したがって \[\begin{align} p = -\rho gz + f(x,t) \tag{3} \end{align}\] となる．ここで \(f(x,t)\) は積分関数（\(z\)に依存しない）．~ 水面では圧力は大気圧となるため \(z=\eta\) で \(p=0\)．よって \(f(x,t) = \rho g \eta\) が得られ， \[\begin{align} p = \rho g (\eta-z) \tag{4} \end{align}\] となる．これは静水圧分布を表している．~ 次に式(1)において， \(u\dfrac{\partial u}{\partial x}, w\dfrac{\partial u}{\partial z} \)は他の項に比して小さいと考えられるので無視し，式(4)を代入すれば \[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} & = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\left[ \rho g (\eta-z) \right] \\ \frac{\partial u}{\partial t} & = -g \frac{\partial \eta}{\partial x} \tag{5} \\ \end{align}\] を得る．\(\eta\) は \(x,t\) の関数であり，この式から \(u\) は \(z\) に無関係なことがわかる．~ その様子は上のgifで確認できる．いずれの深さでも楕円軌道の長軸の長さは変わっておらず．深さ方向に一様に位相が変化している．~ ***連続式 [#c3afb252] 次に，\(\delta x\) だけ隔たった2つの断面をとり，連続の式を求めると \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left[ u (h+\eta)\right] = 0 \tag{6}\\ \end{align}\] いま \(h\) を一定としているため \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left( u\eta \right) = 0 \tag{7}\\ \end{align}\] さらに微小振幅の波を考えているため \(h \gg \eta\) であり，この場合式(7)の左辺第二項に対して第三項\(\dfrac{\partial}{\partial x}\left( u\eta \right)\) は無視できるほど小さい．よって \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \tag{8}\\ \end{align}\] となる．~ ***解の導出 [#w234c8d6] 次に，運動方程式をまとめた式(5)と連続式の式(8)から \(u\) を消去する．~ 式(5)を \(x\) で微分して \[\begin{align} \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} & = -g \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} \tag{9} \\ \end{align}\] 式(8)を \(t\) で微分して \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + h \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0 \tag{10}\\ \end{align}\] 式(9)を式(10)に代入して \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - gh \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} = 0 \tag{11}\\ \end{align}\] となる．この式は波速 \(c=\sqrt{gh}\) の \(\eta\) についての1次元波動方程式である．~ よって， \(c=\sqrt{gh}\) で伝播する波の式が，Euler 方程式と連続式から導かれた．~ この式の一般解はよく知られているように~ \[\begin{align} \eta(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct) \end{align}\] である（\(f(x),~g(x)\) は任意関数）． ~ **\(h=sx\), \(b=\mathrm{const.}\) の場合 [#tadd772f] 水深 \(h\) や 水路幅 \(b\) が直線的に変化する，境界条件が簡単な場合の解を求め，以下に図示してみる．~ ここでも同様に，解の形として周期性をもつ (\(e^{i\omega t}\)) ことを仮定する．~ まずは水路幅 \(b\) は一定で，水深が \(h(x)=sx\) のように変化する場合を考える．\(s\) は勾配．~ ***運動方程式 [#jfa910fd] 運動方程式は一様水深の場合と同じで式(5)である．~ \[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} & = -g \frac{\partial \eta}{\partial x} \tag{5} \\ \end{align}\] ***連続式 [#e973494b] 一方連続式は，水深が一定でないため式(6)の \(h\) が \(\dfrac{\partial}{\partial x}\) の外に出せない．よって \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left[ u (h+\eta)\right] = 0 \tag{6}\\ \end{align}\] から \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\left( uh \right) + \frac{\partial}{\partial x}\left( u\eta \right) = 0 \tag{12}\\ \end{align}\] となる．微小振幅波を考えているため \(h \gg \eta\) とすると \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\left( uh \right) = 0 \tag{13}\\ \end{align}\] ここで想定している \(h=sx\) を代入して \[\begin{align} \frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}\left( u sx \right) = 0 \\ \frac{\partial \eta}{\partial t} + s \left( \frac{\partial u}{\partial x} x + u \right) = 0 \tag{14} \end{align}\] ***解の導出 [#jb8fb0e1] 式(14)の両辺を \(t\) で微分して \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + s \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} x + \frac{\partial u}{\partial t} \right) = 0 \tag{15} \end{align}\] 括弧の中の2つの項に，式(5)と式(5)を \(x\) で微分した式(9)を代入し，\(u\) を消去すると \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} -gs\left( x \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \frac{\partial \eta}{\partial x} \right) &= 0 \\ \frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \frac{1}{x}\frac{\partial \eta}{\partial x} -\frac{1}{gs}\frac{1}{x}\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} &= 0 \tag{16}\\ \end{align}\] を得る．ここで解の形として周期解を仮定し， \[ \eta(x,t) = \eta_1(x)e^{i\omega t} \tag{17} \] とおく．これを式(16)に代入して \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial x^2} e^{i\omega t} + \frac{1}{x}\frac{\partial \eta_1}{\partial x} e^{i\omega t} +\frac{\omega^2}{gs}\frac{1}{x}\eta_1e^{i\omega t} = 0 \\ \end{align}\] 両辺を\(e^{i\omega t}\) で割って \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial x^2} + \frac{1}{x}\frac{\partial \eta_1}{\partial x}+\frac{\omega^2}{gs}\frac{1}{x}\eta_1 = 0 \tag{18}\\ \end{align}\] となる．ここで \(\sqrt{x} = X\) とおくと， \[\begin{align} \frac{\partial}{\partial x} = & \frac{\partial X}{\partial x} \frac{\partial}{\partial X} = \frac{1}{2X}\frac{\partial}{\partial X} \tag{19} \\ \frac{\partial^2}{\partial x^2} = & \frac{1}{2X}\frac{\partial}{\partial X}\left( \frac{1}{2X}\frac{\partial}{\partial X}\right) \\ = & \frac{1}{2X} \left(-\frac{1}{2X^2} \frac{\partial}{\partial X} + \frac{1}{2X}\frac{\partial^2}{\partial X^2} \right) \\ = & \frac{1}{4X^2}\frac{\partial^2}{\partial X^2} -\frac{1}{4X^3} \frac{\partial}{\partial X} \tag{20}\\ \end{align}\] であり，式(18)は次のようになる．~ \[\begin{align} \left(\frac{1}{4X^2} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial X^2} - \frac{1}{4X^3} \frac{\partial \eta_1}{\partial X} \right) + \frac{1}{X^2}\frac{1}{2X}\frac{\partial \eta_1}{\partial X} +\frac{\omega^2}{gs}\frac{1}{X^2}\eta_1 = 0 \end{align}\] 両辺に\(4X^2\) をかけて \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial X^2} + \frac{1}{X} \frac{\partial \eta_1}{\partial X} +\frac{4\omega^2}{gs}\eta_1 = 0 \tag{21} \end{align}\] ここで \(\alpha = \dfrac{2\omega}{\sqrt{gs}}\) とおき，さらに \(y=\alpha X\) とすると, \[\begin{align} \frac{\partial}{\partial X} &= \frac{\partial y}{\partial X}\frac{\partial}{\partial y} = \alpha\frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial^2}{\partial X^2} &= \alpha^2\frac{\partial}{\partial y^2} \\ \end{align}\] より，式(21)は以下の通りに変形できる． \[\begin{align} \alpha^2 \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial y^2} + \frac{\alpha^2}{y} \frac{\partial \eta_1}{\partial y} +\alpha^2\eta_1 & = 0 \\ \end{align}\] 両辺を \(\alpha^2\) で割って \[\begin{align} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial y^2} + \frac{1}{y} \frac{\partial \eta_1}{\partial y} +\eta_1 &= 0 \tag{22} \\ \end{align}\] 式(22)は，0次のベッセル微分方程式であり，その解は \(\eta_1(y) = AZ_0(y)\) （\(A\) は定数，\(Z_0\) は次数0のベッセル関数）となる．~ 仮に解として第一種ベッセル関数 \(J_0\) を選べば \[ \eta_1 = AJ_0(y) = AJ_0(\alpha X) = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{x}{gs}}\right) \] よって \[ \eta = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{x}{gs}}\right) e^{i\omega t} \tag{23} \] となる．~ 水深を \(h=sx\) でなく \(h=h_0\dfrac{x}{a}\) とおけば．~ \[ \eta = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{ax}{gh_0}}\right) e^{i\omega t} \tag{24} \] となる．~ \(\eta\) のふるまいは下の図の通り． 黒実線は海底地形を示しているが，\(z\) の値はダミー．~ 浅くなるにつれて振幅が大きくなるような波が確認できる．~ ただし浅くなりすぎると（ここでは \(x\) が小さすぎると）微小振幅の仮定が成立しなくなるため，値として算出できても物理的にはちょっと変になる． #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/image/Notebooks/longwave_slope.gif) 実部と虚部の両方を図示すると解への理解がしやすくなる？ような気がする． #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/image/Notebooks/longwave_slope_complex.gif) **\(h=h_0\dfrac{x}{a}\), \(b=b_0\dfrac{x}{a}\) の場合 [#h8df4e72] 水深も水路幅も一定割合で変化する場合．~ 今度は1次のベッセル微分方程式に帰着させることができ，解は1次ベッセル関数の形を含む．~ そのうち導出書きます．~ #ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/image/Notebooks/longwave_slope_narrow.gif) *参考文献 [#e81e37de] #htmlinsert(book_nonlinear_wave.html) #htmlinsert(amazon,transitional,"asins=4130611089") #htmlinsert(amazon,transitional,"asins=4395410677") -[[新編海岸工学 堀川清（東京大学出版会）>https://www.amazon.co.jp/%25E6%2596%25B0%25E7%25B7%25A8-%25E6%25B5%25B7%25E5%25B2%25B8%25E5%25B7%25A5%25E5%25AD%25A6-%25E5%25A0%2580%25E5%25B7%259D-%25E6%25B8%2585%25E5%258F%25B8/dp/4130611089/ref=sr_1_12?__mk_ja_JP=%25E3%2582%25AB%25E3%2582%25BF%25E3%2582%25AB%25E3%2583%258A&crid=23SBUW0HTIAEG&dib=eyJ2IjoiMSJ9.GCnqVK6cEQAcqIBvGtYUdBCfpGlKLyKMVpqzEoQZk-zZ2YWCPYOEje6zxl9ALA2b2QgvUbxAs4F3bCtXh3_sXKcHHp3k2BbGu9JladoGmB6XzL2s80uzaBay8tLMTjLK4yeheEAMpt4VJrDvu83z-OSaUejfjbaBgDGetbJm051Pv0pctxuXeiUSzaJg1dl7CX-UXsykvTxNuuvzyEBtFDTjvLA50YQBfIWuoF1Jn6Y.VAa7Zk7qRrOaXDcE-A53mgUGDc2lWDzgpaizexsUuvQ&dib_tag=se&keywords=%25E6%259C%25AC%25E9%2596%2593+%25E6%25B5%25B7%25E5%25B2%25B8%25E5%25B7%25A5%25E5%25AD%25A6&qid=1709002848&s=books&sprefix=%25E6%259C%25AC%25E9%2596%2593+%25E3%2581%258B%25E3%2581%2584%25E3%2581%258C%25E3%2582%2593%25E3%2581%2593%25E3%2581%2586%25E3%2581%258Ck%252Cstripbooks%252C376&sr=1-12&_encoding=UTF8&tag=hydrocoast-22&linkCode=ur2&linkId=817f2c1c7aa010d938bf8398b754d50e&camp=247&creative=1211]]