#author("2020-11-12T02:31:21+09:00","default:Miyashita","Miyashita") #author("2020-11-12T02:38:19+09:00","default:Miyashita","Miyashita") *畳み込み積分のフーリエ変換とラプラス変換 [#a3f3d47d] **畳み込み積分 [#q04b2beb] まず，関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) の畳み込み積分（重畳積分，コンボリューションとも）は次のように表される． \[ \ f \ast g (t) = \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \tag{1} \ \] **畳み込み積分のフーリエ変換 [#x0e45cde] 関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のフーリエ変換をそれぞれ \(F(\omega)\) と \(G(\omega)\) とする．~ 畳み込み積分のフーリエ変換の有名な性質 \[ \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-i\omega t} dt \ = F(\omega)G(\omega)\tag{2} \ \] を示す．~ \[ \begin{align} & \int_\infty^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-i\omega t} dt \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty dt ~ g(t-\tau) ~ e^{-i\omega t} \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_\infty^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-i\omega \left(t'+\tau\right)} \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-i\omega \tau} \int_\infty^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-i\omega t'} \\ = & ~F(\omega) G(\omega) \\ \end{align} \] 2行目は式の整理，~ 3行目は \(t\) から \(t'\) への変数変換，~ 4行目は変数変換で出てきた \(e^{-i\omega \left(t'+\tau\right)}\) の分配をそれぞれ行っている~ ~ ~ **畳み込み積分のラプラス変換 [#l3aed192] 関数 \(f(t)\) と \(g(t)\) のラプラス変換をそれぞれ \(F(s)\) と \(G(s)\) とする．~ \( t<0\) のとき \(f(t) = 0\) かつ \(g(t) = 0\) を仮定すれば，畳み込み積分のラプラス変換でもフーリエ変換のものと似た式が得られる． \[ \ \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \ = F(s) G(s)\tag{3} \ \] ~ \(t-\tau\) を 変数変換すると簡単になるのはフーリエ変換の場合と同じ．~ \(t-\tau=t'\) として変数変換すると簡単になるのはフーリエ変換の場合と同じ．~ 畳み込み積分とラプラス変換のそれぞれの積分区間と，\( t<0\) の条件に気をつける．~ \[ \begin{align} & \int_0^\infty \left( \int_\infty^\infty f(\tau) g(t-\tau) d\tau \right) e^{-st} dt \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_0^\infty dt ~ g(t-\tau) ~ e^{-st} \\ = & \int_\infty^\infty d\tau ~ f(\tau) \int_{-\tau}^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-s\left(t'+\tau\right)} \\ = & \int_0^\infty d\tau ~ f(\tau) e^{-s\tau} \int_0^\infty dt' ~ g(t') ~ e^{-st'} \\ = & ~F(s) G(s) \\ \end{align} \]