Takuya Miyashita
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*微小振幅長波 [#hda3bf75]
#contents
**\(h=\mathrm{const.}, b=\mathrm{const.}\) (一様水深,幅...
[[微小振幅波>../微小振幅波]]の長波 (概ね \(h/L <1/20 \)) ...
[[線形分散関係式の導出>../線形分散関係]]で示したとおり,...
\[
\omega^2 = gk\tanh kh \tag{a}
\]
長波(\(kh \rightarrow 0 \))の場合を考えると \(\tanh kh ...
\[
\omega^2 = gk^2h
\]
となり,したがって波速 \(c=\dfrac{\omega}{k}\) は
\[
c = \sqrt{gh} \tag{b}
\]
となる.水深に比して波長が十分に長くなると,波速は水深の...
この関係を,ラプラスの式から求めるのとは異なるアプローチ...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
***運動方程式 [#rafe5cbd]
一様水深 \(h\) で断面2次元の長周期波 \(\eta(x,z,t)\) を考...
Euler の運動方程式を書くと次のようになる.
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\part...
\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\part...
\end{align}\]
微小振幅波の運動を考えているため式(2)において \(w\) を無...
\[\begin{align}
0 &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\
\frac{\partial p}{\partial z} & = -\rho g \\
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
p = -\rho gz + f(x,t) \tag{3}
\end{align}\]
となる.ここで \(f(x,t)\) は積分関数(\(z\)に依存しない)...
水面では圧力は大気圧となるため \(z=\eta\) で \(p=0\).よ...
\[\begin{align}
p = \rho g (\eta-z) \tag{4}
\end{align}\]
となる.これは静水圧分布を表している.~
次に式(1)において, \(u\dfrac{\partial u}{\partial x}, w\...
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} & = -\frac{1}{\rho}\frac{\p...
\frac{\partial u}{\partial t} & = -g \frac{\partial \eta}...
\end{align}\]
を得る.\(\eta\) は \(x,t\) の関数であり,この式から \...
その様子は上のgifで確認できる.いずれの深さでも楕円軌道の...
***連続式 [#c3afb252]
次に,\(\delta x\) だけ隔たった2つの断面をとり,連続の式...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
いま \(h\) を一定としているため
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\p...
\end{align}\]
さらに微小振幅の波を考えているため \(h \gg \eta\) であ...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\p...
\end{align}\]
となる.~
***解の導出 [#w234c8d6]
次に,運動方程式をまとめた式(5)と連続式の式(8)から \(u\) ...
式(5)を \(x\) で微分して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} & = -g \frac{\p...
\end{align}\]
式(8)を \(t\) で微分して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + h \frac{\partial^2...
\end{align}\]
式(9)を式(10)に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - gh \frac{\partial^...
\end{align}\]
となる.この式は波速 \(c=\sqrt{gh}\) の \(\eta\) について...
よって, \(c=\sqrt{gh}\) で伝播する波の式が,Euler 方程式...
この式の一般解はよく知られているように~
\[\begin{align}
\eta(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)
\end{align}\]
である(\(f(x),~g(x)\) は任意関数).
~
**\(h=sx\), \(b=\mathrm{const.}\) の場合 [#tadd772f]
水深 \(h\) や 水路幅 \(b\) が直線的に変化する,境界条件が...
ここでも同様に,解の形として周期性をもつ (\(e^{i\omega t}...
まずは水路幅 \(b\) は一定で,水深が \(h(x)=sx\) のように...
***運動方程式 [#jfa910fd]
運動方程式は一様水深の場合と同じで式(5)である.~
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} & = -g \frac{\partial \eta}...
\end{align}\]
***連続式 [#e973494b]
一方連続式は,水深が一定でないため式(6)の \(h\) が \(\dfr...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
から
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
となる.微小振幅波を考えているため \(h \gg \eta\) とすると
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
ここで想定している \(h=sx\) を代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\frac{\partial \eta}{\partial t} + s \left( \frac{\partia...
\end{align}\]
***解の導出 [#jb8fb0e1]
式(14)の両辺を \(t\) で微分して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + s \left( \frac{\pa...
\end{align}\]
括弧の中の2つの項に,式(5)と式(5)を \(x\) で微分した式(9)...
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} -gs\left( x \frac{\p...
\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \frac{1}{x}\frac{\...
\end{align}\]
を得る.ここで解の形として周期解を仮定し,
\[
\eta(x,t) = \eta_1(x)e^{i\omega t} \tag{17}
\]
とおく.これを式(16)に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial x^2} e^{i\omega t} + \f...
\end{align}\]
両辺を\(e^{i\omega t}\) で割って
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial x^2} + \frac{1}{x}\frac...
\end{align}\]
となる.ここで \(\sqrt{x} = X\) とおくと,
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} = & \frac{\partial X}{\partia...
\frac{\partial^2}{\partial x^2} = & \frac{1}{2X}\frac{\pa...
= & \frac{1}{2X} \left(-\frac{1}{2X^2} \frac{\partial}{\p...
= & \frac{1}{4X^2}\frac{\partial^2}{\partial X^2} -\frac{...
\end{align}\]
であり,式(18)は次のようになる.~
\[\begin{align}
\left(\frac{1}{4X^2} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial X^...
\end{align}\]
両辺に\(4X^2\) をかけて
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial X^2} + \frac{1}{X} \fra...
\end{align}\]
ここで \(\alpha = \dfrac{2\omega}{\sqrt{gs}}\) とおき,さ...
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial X} &= \frac{\partial y}{\partial...
\frac{\partial^2}{\partial X^2} &= \alpha^2\frac{\partial...
\end{align}\]
より,式(21)は以下の通りに変形できる.
\[\begin{align}
\alpha^2 \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial y^2} + \frac{\...
\end{align}\]
両辺を \(\alpha^2\) で割って
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial y^2} + \frac{1}{y} \fra...
\end{align}\]
式(22)は,0次のベッセル微分方程式であり,その解は \(\eta_...
仮に解として第一種ベッセル関数 \(J_0\) を選べば
\[
\eta_1 = AJ_0(y) = AJ_0(\alpha X) = A J_0\left(2\omega\sq...
\]
よって
\[
\eta = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{x}{gs}}\right) e^{i\...
\]
となる.~
水深を \(h=sx\) でなく \(h=h_0\dfrac{x}{a}\) とおけば.~
\[
\eta = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{ax}{gh_0}}\right) e^...
\]
となる.~
\(\eta\) のふるまいは下の図の通り.
黒実線は海底地形を示しているが,\(z\) の値はダミー.~
浅くなるにつれて振幅が大きくなるような波が確認できる.~
ただし浅くなりすぎると(ここでは \(x\) が小さすぎると)微...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
実部と虚部の両方を図示すると解への理解がしやすくなる?よ...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
**\(h=h_0\dfrac{x}{a}\), \(b=b_0\dfrac{x}{a}\) の場合 [#h...
水深も水路幅も一定割合で変化する場合.~
今度は1次のベッセル微分方程式に帰着させることができ,解は...
そのうち導出書きます.~
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
*参考文献 [#e81e37de]
-[[新編海岸工学 堀川清(東京大学出版会)>https://www.ama...
End:
*微小振幅長波 [#hda3bf75]
#contents
**\(h=\mathrm{const.}, b=\mathrm{const.}\) (一様水深,幅...
[[微小振幅波>../微小振幅波]]の長波 (概ね \(h/L <1/20 \)) ...
[[線形分散関係式の導出>../線形分散関係]]で示したとおり,...
\[
\omega^2 = gk\tanh kh \tag{a}
\]
長波(\(kh \rightarrow 0 \))の場合を考えると \(\tanh kh ...
\[
\omega^2 = gk^2h
\]
となり,したがって波速 \(c=\dfrac{\omega}{k}\) は
\[
c = \sqrt{gh} \tag{b}
\]
となる.水深に比して波長が十分に長くなると,波速は水深の...
この関係を,ラプラスの式から求めるのとは異なるアプローチ...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
***運動方程式 [#rafe5cbd]
一様水深 \(h\) で断面2次元の長周期波 \(\eta(x,z,t)\) を考...
Euler の運動方程式を書くと次のようになる.
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\part...
\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\part...
\end{align}\]
微小振幅波の運動を考えているため式(2)において \(w\) を無...
\[\begin{align}
0 &= -g -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} \\
\frac{\partial p}{\partial z} & = -\rho g \\
\end{align}\]
したがって
\[\begin{align}
p = -\rho gz + f(x,t) \tag{3}
\end{align}\]
となる.ここで \(f(x,t)\) は積分関数(\(z\)に依存しない)...
水面では圧力は大気圧となるため \(z=\eta\) で \(p=0\).よ...
\[\begin{align}
p = \rho g (\eta-z) \tag{4}
\end{align}\]
となる.これは静水圧分布を表している.~
次に式(1)において, \(u\dfrac{\partial u}{\partial x}, w\...
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} & = -\frac{1}{\rho}\frac{\p...
\frac{\partial u}{\partial t} & = -g \frac{\partial \eta}...
\end{align}\]
を得る.\(\eta\) は \(x,t\) の関数であり,この式から \...
その様子は上のgifで確認できる.いずれの深さでも楕円軌道の...
***連続式 [#c3afb252]
次に,\(\delta x\) だけ隔たった2つの断面をとり,連続の式...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
いま \(h\) を一定としているため
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\p...
\end{align}\]
さらに微小振幅の波を考えているため \(h \gg \eta\) であ...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + h \frac{\partial u}{\p...
\end{align}\]
となる.~
***解の導出 [#w234c8d6]
次に,運動方程式をまとめた式(5)と連続式の式(8)から \(u\) ...
式(5)を \(x\) で微分して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} & = -g \frac{\p...
\end{align}\]
式(8)を \(t\) で微分して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + h \frac{\partial^2...
\end{align}\]
式(9)を式(10)に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} - gh \frac{\partial^...
\end{align}\]
となる.この式は波速 \(c=\sqrt{gh}\) の \(\eta\) について...
よって, \(c=\sqrt{gh}\) で伝播する波の式が,Euler 方程式...
この式の一般解はよく知られているように~
\[\begin{align}
\eta(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)
\end{align}\]
である(\(f(x),~g(x)\) は任意関数).
~
**\(h=sx\), \(b=\mathrm{const.}\) の場合 [#tadd772f]
水深 \(h\) や 水路幅 \(b\) が直線的に変化する,境界条件が...
ここでも同様に,解の形として周期性をもつ (\(e^{i\omega t}...
まずは水路幅 \(b\) は一定で,水深が \(h(x)=sx\) のように...
***運動方程式 [#jfa910fd]
運動方程式は一様水深の場合と同じで式(5)である.~
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} & = -g \frac{\partial \eta}...
\end{align}\]
***連続式 [#e973494b]
一方連続式は,水深が一定でないため式(6)の \(h\) が \(\dfr...
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
から
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
となる.微小振幅波を考えているため \(h \gg \eta\) とすると
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\end{align}\]
ここで想定している \(h=sx\) を代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial}{\parti...
\frac{\partial \eta}{\partial t} + s \left( \frac{\partia...
\end{align}\]
***解の導出 [#jb8fb0e1]
式(14)の両辺を \(t\) で微分して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} + s \left( \frac{\pa...
\end{align}\]
括弧の中の2つの項に,式(5)と式(5)を \(x\) で微分した式(9)...
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} -gs\left( x \frac{\p...
\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} + \frac{1}{x}\frac{\...
\end{align}\]
を得る.ここで解の形として周期解を仮定し,
\[
\eta(x,t) = \eta_1(x)e^{i\omega t} \tag{17}
\]
とおく.これを式(16)に代入して
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial x^2} e^{i\omega t} + \f...
\end{align}\]
両辺を\(e^{i\omega t}\) で割って
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial x^2} + \frac{1}{x}\frac...
\end{align}\]
となる.ここで \(\sqrt{x} = X\) とおくと,
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} = & \frac{\partial X}{\partia...
\frac{\partial^2}{\partial x^2} = & \frac{1}{2X}\frac{\pa...
= & \frac{1}{2X} \left(-\frac{1}{2X^2} \frac{\partial}{\p...
= & \frac{1}{4X^2}\frac{\partial^2}{\partial X^2} -\frac{...
\end{align}\]
であり,式(18)は次のようになる.~
\[\begin{align}
\left(\frac{1}{4X^2} \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial X^...
\end{align}\]
両辺に\(4X^2\) をかけて
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial X^2} + \frac{1}{X} \fra...
\end{align}\]
ここで \(\alpha = \dfrac{2\omega}{\sqrt{gs}}\) とおき,さ...
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial X} &= \frac{\partial y}{\partial...
\frac{\partial^2}{\partial X^2} &= \alpha^2\frac{\partial...
\end{align}\]
より,式(21)は以下の通りに変形できる.
\[\begin{align}
\alpha^2 \frac{\partial^2 \eta_1}{\partial y^2} + \frac{\...
\end{align}\]
両辺を \(\alpha^2\) で割って
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \eta_1}{\partial y^2} + \frac{1}{y} \fra...
\end{align}\]
式(22)は,0次のベッセル微分方程式であり,その解は \(\eta_...
仮に解として第一種ベッセル関数 \(J_0\) を選べば
\[
\eta_1 = AJ_0(y) = AJ_0(\alpha X) = A J_0\left(2\omega\sq...
\]
よって
\[
\eta = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{x}{gs}}\right) e^{i\...
\]
となる.~
水深を \(h=sx\) でなく \(h=h_0\dfrac{x}{a}\) とおけば.~
\[
\eta = A J_0\left(2\omega\sqrt{\frac{ax}{gh_0}}\right) e^...
\]
となる.~
\(\eta\) のふるまいは下の図の通り.
黒実線は海底地形を示しているが,\(z\) の値はダミー.~
浅くなるにつれて振幅が大きくなるような波が確認できる.~
ただし浅くなりすぎると(ここでは \(x\) が小さすぎると)微...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
実部と虚部の両方を図示すると解への理解がしやすくなる?よ...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
**\(h=h_0\dfrac{x}{a}\), \(b=b_0\dfrac{x}{a}\) の場合 [#h...
水深も水路幅も一定割合で変化する場合.~
今度は1次のベッセル微分方程式に帰着させることができ,解は...
そのうち導出書きます.~
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
*参考文献 [#e81e37de]
-[[新編海岸工学 堀川清(東京大学出版会)>https://www.ama...
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