Takuya Miyashita
This site
Web
Start:
*線形分散関係 [#cb23076e]
#contents
**「分散関係」? [#kf41f644]
微小振幅波理論における分散関係式 (dispersion relation)
\[
\omega^2 = gk\tanh kh \tag{1}
\]
は海岸工学の教科書で必ず出てくるが,この分散関係というの...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
**微小振幅波の分散関係式の導出 [#rf6c9638]
***基礎方程式 [#c8b60d67]
まず基礎方程式と微小振幅波の境界条件を決める.~
一様水深 \(h\) の水域を考え,波の進行方向に \(x\),水面か...
渦なし流れを仮定すると,速度ポテンシャル \(\phi\) が存在...
\[\begin{align}
u = \frac{\partial \phi}{\partial x} \tag{2} \\
w = \frac{\partial \phi}{\partial z} \tag{3} \\
\end{align}\]
ここでは水(海水)を非圧縮として扱うため,連続式は
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial ...
\end{align}\]
となる.式(2)〜(4)より
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ph...
\end{align}\]
を得る(ラプラス方程式).これが非回転・非圧縮の流れの支...
この支配方程式を満たす未知関数 \(\phi\) は無数に存在する...
***境界条件 [#g813906d]
海底での境界条件を考える.~
水平な海底においては速度の鉛直成分は 0 でなければならない...
\[
w = \frac{\partial \phi}{\partial z}=0,~\mathrm{for}~ z=-...
\]
を満たす必要がある.~
次に水面での境界条件として,渦なし流れの運動方程式の積分...
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t} +
\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}...
\]
ここで \(t\) は時間,\(p\) は圧力,\(\rho\) は水の密度,\...
自由表面 \(z=\eta\) での圧力を \(p_0\) とすれば,式(7) を...
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t} +
\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}...
\]
となる.~
また,自由表面が \(F(x,z,t)=0\) のように表されるとすれば...
これより,\(F\) の物質微分(ラグランジュ微分)は0でなけれ...
\[
\frac{DF}{Dt} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + u\frac...
\]
\(u,v\) を \(\phi\) に置き換えると次のようになる.
\[
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\...
\]
***微小振幅波の仮定 [#q3bb5f47]
ここまで
-一様水深~
-非圧縮~
-非回転~
-非粘性~
を仮定した.この仮定のもとで,
連続式と速度ポテンシャルによって得たラプラス方程式の式(5)
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ph...
\end{align}\]
および底面での境界条件式(6)
\[
\frac{\partial \phi}{\partial z}=0,~\mathrm{for}~ z=-h\ta...
\]
および水表面での境界条件式(8),(9)
\[\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial t} +
\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}...
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\...
\end{align}\]
を満足する解を求めることになる.~
このまま解こうとすると,式(8),(9)は非線形であるから非線形...
しかし,波高が波長 \(L\) または水深 \(h\) に比して非常に...
ということで微小振幅波を考え,\(\left.\dfrac{\partial \ph...
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t} \phi(x,0+\eta,t) = \frac{\par...
\end{align}\]
ここから微小量の2次以上の項を無視して
\[\begin{align}
\left.\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=\eta} \a...
\end{align}\]
となる.同様に
\[\begin{align}
\left.\frac{\partial \phi}{\partial z}\right|_{z=\eta} \a...
\end{align}\]
となる.これを境界条件の式(8),(9) に代入して,同様に2次以...
\[\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial t} + g\eta &= 0,~\mathrm{fo...
\frac{\partial \eta}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\...
\end{align}\]
ここで,水表面での大気の圧力 \(p_0\) を基準とし,\(p_0 =...
式(10),(11) より\(\eta\) を消去すると
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + g\frac{\partial \p...
\end{align}\]
を得る.
***微小振幅波の分散関係式の導出 [#w77d8c2a]
これまで導出した基礎式
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ph...
\end{align}\]
および境界条件の式
\[\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial z}&=0 ,~\mathrm{for}~ z=-h\...
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + g\frac{\partial \p...
\end{align}\]
と変数分離法を使って分散関係式を求める.~
未知関数 \(\phi\) の解の形として,\(x,z,t\) それぞれ独立...
\[\begin{align}
\phi(x,z,t) = X (x)Z(z)T(t)
\end{align}\]
ここで \(X,Z,T\) はそれぞれ \(x,z,t\) だけの関数.さらに...
\[\begin{align}
\phi(x,z,t) = X (x)Z(z)e^{-i\omega t} \tag{13}
\end{align}\]
とおける.ここで,\(\omega\) は角周波数.\(e^{-i\omega t}...
また,\(x\) 方向の進行する波の向きも限定して解の形を仮定...
今回は式変形上扱いやすく,より汎用的になるよう \(T(t) = e...
式(13)をラプラスの式,式(5)に代入して
\[\begin{align}
X^{\prime\prime}Ze^{-i\omega t} + XZ^{\prime\prime}e^{-i\...
\end{align}\]
両辺を \(XZe^{-i\omega t}\) で割って
\[\begin{align}
\frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Z^{\prime\prime}}{Z} &...
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} &= -\frac{X^{\prime\prime}}{X}...
\end{align}\]
この式(14)の左辺は仮定した通り \(Z\) だけの関数,右辺は \...
この式が恒等的に成立するためには,両辺がある定数でなけれ...
( \(x\) だけ,\(z\) だけ変化した場合にも成立しなければな...
そこである定数 \(k>0\) を用いて
\[\begin{align}
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = -\frac{X^{\prime\prime}}{X} ...
\end{align}\]
とする.\(Z\) の項と \(X\) の項は符号だけ逆の関係であり,...
一方は双曲線関数を解に持ち,他方は三角関数を解に持つこと...
本当は
\[\begin{align}
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = -\frac{X^{\prime\prime}}{X} ...
\end{align}\]
とおいて,\(\alpha>0,~\alpha=0,~\alpha<0\) のそれぞれの条...
\[\begin{align}
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = -\frac{X^{\prime\prime}}{X} ...
\end{align}\]
とおくのが正攻法.ここでは面倒くさいので省略.~
ただ,\(x,\,z\) 方向のどちらが\(\sin, \cos\),つまりは \(e...
~
式(15)より,定数 \(A,B,C,D\) を用いて \(Z,X\) を表すと
\[\begin{align}
Z &= Ae^{kz} + Be^{-kz} \tag{16}\\
X &= Ce^{ikx} + De^{-ikx} \tag{17}\\
\end{align}\]
となる(分散関係式を求めるにあたっては,\(X\) は \(X\) の...
これより \(\phi\) を書き直すと
\[\begin{align}
\phi(x,z,t) &= X (x)Z(z)e^{-i\omega t} \tag{13}\\
\phi(x,z,t) &= \left(Ae^{kz} + Be^{-kz}\right) \left(Ce^{...
\end{align}\]
となる.解の形を仮定し,ラプラス方程式に代入して得た式(18...
\[\begin{align}
e^{-kh}A - e^{kh}B &= 0 \tag{19}\\
(\omega^2-gk)A + (\omega^2+gk)B &= 0 \tag{20}\\
\end{align}\]
式(19),(20)を行列にして書くと次のようになる.
\[
\left(
\begin{array}{cc}
e^{-kh} & -e^{kh} \\
\omega^2-gk & \omega^2+gk \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A \\
B \\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
\tag{21}
\]
\(A,B\) がともに0でない非自明解をもつためには係数行列の行...
(逆行列が存在した場合,式(21)に係数行列 \(P\) の逆行列 \...
したがって解が存在する条件として
\[
\left|
\begin{array}{cc}
e^{-kh} & -e^{kh} \\
\omega^2-gk & \omega^2+gk \\
\end{array}
\right| = 0 \tag{22}
\]
が得られ,これを解くと
\[\begin{align}
(\omega^2+gk)e^{-kh} + (\omega^2-gk)e^{kh}&= 0 \\
(e^{kh}+e^{-kh})\omega^2 - (e^{kh}-e^{-kh})gk &= 0 \\
\end{align}\]
より
\[\begin{align}
\omega^2 &=gk\frac{e^{kh}-e^{-kh}}{e^{kh}+e^{-kh}} \\
&=gk\tanh kh \tag{23}\\
\end{align}\]
となり,最初に示した分散関係式を得る.
***分散関係式の解釈 [#o2df080a]
水面波の挙動の支配方程式を満たすためには, 一般に角振動数...
「分散関係」という言葉は,波速(位相速度)\(c=\omega/k\) ...
\(\omega\) は \(k\) の関数であるから,波速 \(c\) も波数 \...
フーリエ解析によれば,任意の波形は様々な波長の正弦波の重...
このように \(c\) が一定でなく \(k\) に依存する(\(c(k)\) ...
~
*参考文献 [#u86a5883]
-[[新編海岸工学 堀川清(東京大学出版会)>https://www.ama...
-[[非線形波動の物理 田中光宏(森北出版)>https://www.ama...
End:
*線形分散関係 [#cb23076e]
#contents
**「分散関係」? [#kf41f644]
微小振幅波理論における分散関係式 (dispersion relation)
\[
\omega^2 = gk\tanh kh \tag{1}
\]
は海岸工学の教科書で必ず出てくるが,この分散関係というの...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
&ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
~
**微小振幅波の分散関係式の導出 [#rf6c9638]
***基礎方程式 [#c8b60d67]
まず基礎方程式と微小振幅波の境界条件を決める.~
一様水深 \(h\) の水域を考え,波の進行方向に \(x\),水面か...
渦なし流れを仮定すると,速度ポテンシャル \(\phi\) が存在...
\[\begin{align}
u = \frac{\partial \phi}{\partial x} \tag{2} \\
w = \frac{\partial \phi}{\partial z} \tag{3} \\
\end{align}\]
ここでは水(海水)を非圧縮として扱うため,連続式は
\[\begin{align}
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial ...
\end{align}\]
となる.式(2)〜(4)より
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ph...
\end{align}\]
を得る(ラプラス方程式).これが非回転・非圧縮の流れの支...
この支配方程式を満たす未知関数 \(\phi\) は無数に存在する...
***境界条件 [#g813906d]
海底での境界条件を考える.~
水平な海底においては速度の鉛直成分は 0 でなければならない...
\[
w = \frac{\partial \phi}{\partial z}=0,~\mathrm{for}~ z=-...
\]
を満たす必要がある.~
次に水面での境界条件として,渦なし流れの運動方程式の積分...
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t} +
\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}...
\]
ここで \(t\) は時間,\(p\) は圧力,\(\rho\) は水の密度,\...
自由表面 \(z=\eta\) での圧力を \(p_0\) とすれば,式(7) を...
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t} +
\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}...
\]
となる.~
また,自由表面が \(F(x,z,t)=0\) のように表されるとすれば...
これより,\(F\) の物質微分(ラグランジュ微分)は0でなけれ...
\[
\frac{DF}{Dt} = \frac{\partial \eta}{\partial t} + u\frac...
\]
\(u,v\) を \(\phi\) に置き換えると次のようになる.
\[
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\...
\]
***微小振幅波の仮定 [#q3bb5f47]
ここまで
-一様水深~
-非圧縮~
-非回転~
-非粘性~
を仮定した.この仮定のもとで,
連続式と速度ポテンシャルによって得たラプラス方程式の式(5)
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ph...
\end{align}\]
および底面での境界条件式(6)
\[
\frac{\partial \phi}{\partial z}=0,~\mathrm{for}~ z=-h\ta...
\]
および水表面での境界条件式(8),(9)
\[\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial t} +
\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}...
\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial \phi}{\...
\end{align}\]
を満足する解を求めることになる.~
このまま解こうとすると,式(8),(9)は非線形であるから非線形...
しかし,波高が波長 \(L\) または水深 \(h\) に比して非常に...
ということで微小振幅波を考え,\(\left.\dfrac{\partial \ph...
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t} \phi(x,0+\eta,t) = \frac{\par...
\end{align}\]
ここから微小量の2次以上の項を無視して
\[\begin{align}
\left.\frac{\partial \phi}{\partial t}\right|_{z=\eta} \a...
\end{align}\]
となる.同様に
\[\begin{align}
\left.\frac{\partial \phi}{\partial z}\right|_{z=\eta} \a...
\end{align}\]
となる.これを境界条件の式(8),(9) に代入して,同様に2次以...
\[\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial t} + g\eta &= 0,~\mathrm{fo...
\frac{\partial \eta}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\...
\end{align}\]
ここで,水表面での大気の圧力 \(p_0\) を基準とし,\(p_0 =...
式(10),(11) より\(\eta\) を消去すると
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + g\frac{\partial \p...
\end{align}\]
を得る.
***微小振幅波の分散関係式の導出 [#w77d8c2a]
これまで導出した基礎式
\[\begin{align}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \ph...
\end{align}\]
および境界条件の式
\[\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial z}&=0 ,~\mathrm{for}~ z=-h\...
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + g\frac{\partial \p...
\end{align}\]
と変数分離法を使って分散関係式を求める.~
未知関数 \(\phi\) の解の形として,\(x,z,t\) それぞれ独立...
\[\begin{align}
\phi(x,z,t) = X (x)Z(z)T(t)
\end{align}\]
ここで \(X,Z,T\) はそれぞれ \(x,z,t\) だけの関数.さらに...
\[\begin{align}
\phi(x,z,t) = X (x)Z(z)e^{-i\omega t} \tag{13}
\end{align}\]
とおける.ここで,\(\omega\) は角周波数.\(e^{-i\omega t}...
また,\(x\) 方向の進行する波の向きも限定して解の形を仮定...
今回は式変形上扱いやすく,より汎用的になるよう \(T(t) = e...
式(13)をラプラスの式,式(5)に代入して
\[\begin{align}
X^{\prime\prime}Ze^{-i\omega t} + XZ^{\prime\prime}e^{-i\...
\end{align}\]
両辺を \(XZe^{-i\omega t}\) で割って
\[\begin{align}
\frac{X^{\prime\prime}}{X} + \frac{Z^{\prime\prime}}{Z} &...
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} &= -\frac{X^{\prime\prime}}{X}...
\end{align}\]
この式(14)の左辺は仮定した通り \(Z\) だけの関数,右辺は \...
この式が恒等的に成立するためには,両辺がある定数でなけれ...
( \(x\) だけ,\(z\) だけ変化した場合にも成立しなければな...
そこである定数 \(k>0\) を用いて
\[\begin{align}
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = -\frac{X^{\prime\prime}}{X} ...
\end{align}\]
とする.\(Z\) の項と \(X\) の項は符号だけ逆の関係であり,...
一方は双曲線関数を解に持ち,他方は三角関数を解に持つこと...
本当は
\[\begin{align}
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = -\frac{X^{\prime\prime}}{X} ...
\end{align}\]
とおいて,\(\alpha>0,~\alpha=0,~\alpha<0\) のそれぞれの条...
\[\begin{align}
\frac{Z^{\prime\prime}}{Z} = -\frac{X^{\prime\prime}}{X} ...
\end{align}\]
とおくのが正攻法.ここでは面倒くさいので省略.~
ただ,\(x,\,z\) 方向のどちらが\(\sin, \cos\),つまりは \(e...
~
式(15)より,定数 \(A,B,C,D\) を用いて \(Z,X\) を表すと
\[\begin{align}
Z &= Ae^{kz} + Be^{-kz} \tag{16}\\
X &= Ce^{ikx} + De^{-ikx} \tag{17}\\
\end{align}\]
となる(分散関係式を求めるにあたっては,\(X\) は \(X\) の...
これより \(\phi\) を書き直すと
\[\begin{align}
\phi(x,z,t) &= X (x)Z(z)e^{-i\omega t} \tag{13}\\
\phi(x,z,t) &= \left(Ae^{kz} + Be^{-kz}\right) \left(Ce^{...
\end{align}\]
となる.解の形を仮定し,ラプラス方程式に代入して得た式(18...
\[\begin{align}
e^{-kh}A - e^{kh}B &= 0 \tag{19}\\
(\omega^2-gk)A + (\omega^2+gk)B &= 0 \tag{20}\\
\end{align}\]
式(19),(20)を行列にして書くと次のようになる.
\[
\left(
\begin{array}{cc}
e^{-kh} & -e^{kh} \\
\omega^2-gk & \omega^2+gk \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
A \\
B \\
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\end{array}
\right)
\tag{21}
\]
\(A,B\) がともに0でない非自明解をもつためには係数行列の行...
(逆行列が存在した場合,式(21)に係数行列 \(P\) の逆行列 \...
したがって解が存在する条件として
\[
\left|
\begin{array}{cc}
e^{-kh} & -e^{kh} \\
\omega^2-gk & \omega^2+gk \\
\end{array}
\right| = 0 \tag{22}
\]
が得られ,これを解くと
\[\begin{align}
(\omega^2+gk)e^{-kh} + (\omega^2-gk)e^{kh}&= 0 \\
(e^{kh}+e^{-kh})\omega^2 - (e^{kh}-e^{-kh})gk &= 0 \\
\end{align}\]
より
\[\begin{align}
\omega^2 &=gk\frac{e^{kh}-e^{-kh}}{e^{kh}+e^{-kh}} \\
&=gk\tanh kh \tag{23}\\
\end{align}\]
となり,最初に示した分散関係式を得る.
***分散関係式の解釈 [#o2df080a]
水面波の挙動の支配方程式を満たすためには, 一般に角振動数...
「分散関係」という言葉は,波速(位相速度)\(c=\omega/k\) ...
\(\omega\) は \(k\) の関数であるから,波速 \(c\) も波数 \...
フーリエ解析によれば,任意の波形は様々な波長の正弦波の重...
このように \(c\) が一定でなく \(k\) に依存する(\(c(k)\) ...
~
*参考文献 [#u86a5883]
-[[新編海岸工学 堀川清(東京大学出版会)>https://www.ama...
-[[非線形波動の物理 田中光宏(森北出版)>https://www.ama...
Page:
Edit with a page name which already exists