Takuya Miyashita
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*波動方程式 [#ld5da0cc]
**1次元の波動 [#p642614d]
次式で表される波動方程式を満たす\(\phi(\boldsymbol{x},t) ...
\[
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \phi...
\]
を数値的に解く.ここで,\(\boldsymbol{x}, t\)は空間,時間...
上式が空間的に1次元の場合,波動方程式は
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2\frac{\parti...
となる.~
~
**解 [#zaed6cff]
1次元の式(2)は,数学的にこのような書き方が許されるかはわ...
\[ \left(\frac{\partial }{\partial t} - c\frac{\partial }...
と表せる.カッコの中は \(\phi\) を含まないただの演算子な...
\[ \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} - c\frac{\parti...
または
\[ \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + c\frac{\parti...
となる.これらの式は1次元の移流方程式であり,式(4)と式(5)...
したがって,1次元の移流方程式は同時に1次元の波動方程式の...
何らかの初期条件が与えられたとすれば,\(\phi\) の挙動は
\[ \phi(x,t) = \frac{1}{2}\phi(x-ct,0) + \frac{1}{2}\phi(...
となる.~
~
**数値計算 [#zf269a30]
最も簡単な1次元のこの形式で数値的に解くことを考える.~
数値的に解くために,数式にあるような連続空間から離散空間...
時間を固定して考えると, \(\phi(x\pm\Delta x)\) の値はテ...
\[\phi(x+\Delta x) = \phi(x) + \frac{\partial \phi(x)}{\p...
\[\phi(x-\Delta x) = \phi(x) - \frac{\partial \phi(x)}{\p...
高次の\(\Delta x\)の項を無視し,この2式を辺々足して整理す...
\[\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2} = \frac{\phi(x+...
を得る.\(\phi(x)\) を \(\phi_i\),\(x\) から正の方向に \...
\[ \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} = \frac{\phi_{...
となる.~
時間 \( t\) についても同様に離散化した \(j\) 番目の時刻を...
\[ \frac{\phi^{j+1}_{i} - 2\phi^{j}_{i} + \phi^{j-1}_{i}}...
数値計算では,点 \(x_i\) で時間が \(\Delta t\) だけ進んだ...
\[ \phi^{j+1}_{i} = 2(1-\lambda^2)\phi^{j}_{i} + \lambda...
となる.ただし,
\[ \lambda^2 = \left( c \frac{\Delta t}{\Delta x} \right)...
である.式(12)の右辺は,格子上で隣接した\(\phi\)や前の時...
したがって,順番にこの式をあてはめて計算することで,時間...
~
下の図は境界条件3つを使って1次元波動方程式を解いた例.~
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
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*波動方程式 [#ld5da0cc]
**1次元の波動 [#p642614d]
次式で表される波動方程式を満たす\(\phi(\boldsymbol{x},t) ...
\[
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \nabla^2 \phi...
\]
を数値的に解く.ここで,\(\boldsymbol{x}, t\)は空間,時間...
上式が空間的に1次元の場合,波動方程式は
\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2\frac{\parti...
となる.~
~
**解 [#zaed6cff]
1次元の式(2)は,数学的にこのような書き方が許されるかはわ...
\[ \left(\frac{\partial }{\partial t} - c\frac{\partial }...
と表せる.カッコの中は \(\phi\) を含まないただの演算子な...
\[ \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} - c\frac{\parti...
または
\[ \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + c\frac{\parti...
となる.これらの式は1次元の移流方程式であり,式(4)と式(5)...
したがって,1次元の移流方程式は同時に1次元の波動方程式の...
何らかの初期条件が与えられたとすれば,\(\phi\) の挙動は
\[ \phi(x,t) = \frac{1}{2}\phi(x-ct,0) + \frac{1}{2}\phi(...
となる.~
~
**数値計算 [#zf269a30]
最も簡単な1次元のこの形式で数値的に解くことを考える.~
数値的に解くために,数式にあるような連続空間から離散空間...
時間を固定して考えると, \(\phi(x\pm\Delta x)\) の値はテ...
\[\phi(x+\Delta x) = \phi(x) + \frac{\partial \phi(x)}{\p...
\[\phi(x-\Delta x) = \phi(x) - \frac{\partial \phi(x)}{\p...
高次の\(\Delta x\)の項を無視し,この2式を辺々足して整理す...
\[\frac{\partial^2 \phi(x)}{\partial x^2} = \frac{\phi(x+...
を得る.\(\phi(x)\) を \(\phi_i\),\(x\) から正の方向に \...
\[ \frac{\partial^2 \phi_i}{\partial x^2} = \frac{\phi_{...
となる.~
時間 \( t\) についても同様に離散化した \(j\) 番目の時刻を...
\[ \frac{\phi^{j+1}_{i} - 2\phi^{j}_{i} + \phi^{j-1}_{i}}...
数値計算では,点 \(x_i\) で時間が \(\Delta t\) だけ進んだ...
\[ \phi^{j+1}_{i} = 2(1-\lambda^2)\phi^{j}_{i} + \lambda...
となる.ただし,
\[ \lambda^2 = \left( c \frac{\Delta t}{\Delta x} \right)...
である.式(12)の右辺は,格子上で隣接した\(\phi\)や前の時...
したがって,順番にこの式をあてはめて計算することで,時間...
~
下の図は境界条件3つを使って1次元波動方程式を解いた例.~
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
#ref(https://main-t-miyashita.ssl-lolipop.jp/hydrocoast/i...
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